תרגול זהויות מהבגרויותחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 7
חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571
שיעור 7 – תרגול זהויות מהבגרויות
פרק 1 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – בגרות 482 חורף 2020: sin(2x) = 2sin x
3סעיף ב – בגרות 482 קיץ 2022 מועד ב
4סעיף ג – בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב
5סעיף ד – בגרות 571 חורף 2026
📄 נוסח השאלה
א. (בגרות 482, חורף 2020, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = sin(2x) , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π . נתונה הפונקציה g(x) = 2sin x , המוגדרת גם היא בתחום 0 ≤ x ≤ π . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם גרף הפונקציה f(x) .
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (בגרות 482, קיץ 2022 מועד ב, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = 2 − 4(sin x)2 , המוגדרת בתחום −3π4 ≤ x ≤ 3π4 . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x .
ג. (בגרות 571, קיץ 2022 מועד ב, שאלה 7) נתונה הפונקציה f(x) = sin2(x) − cos2(x) − 1 , המוגדרת לכל x .
(1) הוכיחו כי לכל x מתקיים: −2 ≤ f(x) ≤ 0 .
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים בתחום −π ≤ x ≤ π .
ד. (בגרות 571, חורף 2026, שאלה 7) נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 + cos x − 1 , המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π . מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .
סעיף א – בגרות 482 חורף 2020: sin(2x) = 2sin x
בנקודת חיתוך הגרפים שווים:
sin(2x) = 2sin x
באגף שמאל זווית כפולה ובאגף ימין זווית רגילה – פותחים את sin(2x) :
2sin x · cos x = 2sin x
📐 סינוס של זווית כפולה
לא מחלקים ב־sin x (הוא יכול להיות 0). מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף:
2sin x · cos x − 2sin x = 0
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף א – בגרות 482 חורף 2020: sin(2x) = 2sin x · המשך
2sin x · cos x − 2sin x = 0
2sin x · (cos x − 1) = 0
אחד הגורמים שווה 0:
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 :
x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π + 2πk
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – בגרות 482 חורף 2020: sin(2x) = 2sin x · המשך
x = π + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π ( k = 0 ): x = 0 ו־x = π .
אפשרות 2: cos x = 1 :
x = 0
📐 ערך מיוחד
זה פתרון שכבר מצאנו.
שיעור ה־y – מציבים ב־g(x) = 2sin x :
📐 ערך מיוחד
cos 0 = 1
סעיף א – בגרות 482 חורף 2020: sin(2x) = 2sin x · המשך
שיעור ה־y – מציבים ב־g(x) = 2sin x :
g(0) = 2sin 0 = 0
g(π) = 2sin π = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0) וגם (π , 0)
סעיף ב – בגרות 482 קיץ 2022 מועד ב
פותרים f(x) = 0 . כמו שראינו בשיעור הקודם, 2 − 4sin2x הוא בדיוק 2cos(2x) , ומשוואה עם קוסינוס אחד קלה יותר לפתרון. מוציאים 2:
f(x) = 2(1 − 2sin2x)
f(x) = 2cos(2x)
📐 קוסינוס של זווית כפולה
2cos(2x) = 0
cos(2x) = 0
cos(2x) = cos π2
📐 ערך מיוחד
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = 1 − 2sin2x
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
סעיף ב – בגרות 482 קיץ 2022 מועד ב · המשך
cos(2x) = cos π2
📐 ערך מיוחד
2x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
2x = −π2 + 2πk
מחלקים ב־2:
x = π4 + πk
x = −π4 + πk
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב – בגרות 482 קיץ 2022 מועד ב · המשך
x = −π4 + πk
בוחרים k כך שנישאר בתחום −3π4 ≤ x ≤ 3π4 :
משפחה ראשונה: k = 0 נותן π4 , ו־k = −1 נותן:
x = π4 − π = −3π4
משפחה שנייה: k = 0 נותן −π4 , ו־k = 1 נותן:
x = −π4 + π = 3π4
סעיף ב – בגרות 482 קיץ 2022 מועד ב · המשך
x = −π4 + π = 3π4
ערכי k אחרים יוצאים מהתחום. שתי הנקודות ± 3π4 הן קצות התחום.
✅ פתרון סופי: (± π4 , 0) וגם (± 3π4 , 0)
סעיף ג – בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב
(1) כדי לדעת בין אילו ערכים נמצאת הפונקציה, כדאי לכתוב אותה עם פונקציה טריגונומטרית אחת. מהזהות היסודית sin2x − 1 = −cos2x . מסדרים את הפונקציה ומסמנים את מה שנחליף:
f(x) = sin2x − 1 − cos2x
נציב sin2x − 1 = −cos2x :
f(x) = −cos2x − cos2x
📐 זהות יסודית
f(x) = −2cos2x
ריבוע של קוסינוס נמצא תמיד בין 0 ל־1:
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ג – בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב · המשך
ריבוע של קוסינוס נמצא תמיד בין 0 ל־1:
0 ≤ cos2x ≤ 1
כופלים ב־−2 – והופכים את כיוון אי השוויון:
−2 ≤ −2cos2x ≤ 0
−2 ≤ f(x) ≤ 0
(2) חיתוך עם ציר ה־y – מציבים x = 0 בצורה הפשוטה:
סעיף ג – בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב · המשך
(2) חיתוך עם ציר ה־y – מציבים x = 0 בצורה הפשוטה:
f(0) = −2cos20 = −2 · 1 = −2
חיתוך עם ציר ה־x :
−2cos2x = 0
cos x = 0
x = π2 + πk
📐 ערך מיוחד
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
סעיף ג – בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב · המשך
x = π2 + πk
📐 ערך מיוחד
בתחום −π ≤ x ≤ π : k = 0 נותן π2 , ו־k = −1 נותן −π2 .
✅ פתרון סופי: הוכחנו ✓ . נקודות החיתוך: (0 , −2) וגם (± π2 , 0)
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
סעיף ד – בגרות 571 חורף 2026
פותרים f(x) = 0 . יש במשוואה גם סינוס וגם קוסינוס; מחליפים את sin2x כדי שיישאר רק קוסינוס:
(sin x)2 + cos x − 1 = 0
נציב sin2x = 1 − cos2x :
1 − cos2x + cos x − 1 = 0
📐 זהות יסודית
−cos2x + cos x = 0
מוציאים גורם משותף cos x :
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ד – בגרות 571 חורף 2026 · המשך
מוציאים גורם משותף cos x :
cos x · (1 − cos x) = 0
אחד הגורמים שווה 0:
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: cos x = 0 :
x = π2 + πk
📐 ערך מיוחד
בתחום −π ≤ x ≤ π : x = π2 ו־x = −π2 .
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
סעיף ד – בגרות 571 חורף 2026 · המשך
בתחום −π ≤ x ≤ π : x = π2 ו־x = −π2 .
אפשרות 2: cos x = 1 :
x = 2πk
📐 ערך מיוחד
בתחום – רק x = 0 .
✅ פתרון סופי: (0 , 0) וגם (± π2 , 0)
📐 ערך מיוחד
cos 0 = 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
(0 , 0) ; (π , 0)
סעיף ב
(± π4 , 0) ; (± 3π4 , 0)
סעיף ג
הוכחה ; (0 , −2) ; (± π2 , 0)
סעיף ד
(0 , 0) ; (± π2 , 0)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא